Задание №2 (Аппроксимация)
Пример задания:
Постановка задачи
аппроксимации. Даны точки (1,3), (3,6), (4,4) (или другого
набора из 3-6 точек) .
Найти коэффициенты линейной аппроксимации (при выводе и решении уравнений добавляются баллы).
Постановка задачи:
Даны точки (xi,yi), i=1…n и аналитическая зависимость F(x,
a1,a2,…),
где a1,a2,…параметры.
Найти такие значения
параметров функции F(x, a1,a2,…) , чтобы она наилучшим образом проходила возле точек (xi,yi). Характеризовать
отклонение функции от данных точек можно с помощью суммы квадратов отклонений:
Если
параметры a1,a2,….
функции подобраны наилучшим образом и
график функции F(x, a1,a2,…) наиболее близко проходит около них, то R(a1,a2,…)- функция параметров, - минимальна. Квадраты
берутся для того, чтобы отклонения
разного знака (в разные стороны) не
компенсировали друг друга.
Вывод уравнений.
Данные точки обозначим
(х1,у1), (х2,у2),
(х3,у3), аппроксимирующую
прямую F(x)=a0+a1x.
Нужно найти коэффициенты прямой а0,а1
такие что сумма квадратов отклонений
R=Σ (yi
-( a0+a1xi
))2 была минимальной . Сумма квадратов отклонений будет
минимальна, если
Найдем производные как производные сложной функции, сначала дифференцируя по a0 ( остальные данные, входящие в функцию R, рассматриваем как константы, на сумму дифференцирование не влияет), а затем - по a1
Введем обозначения для сумм
Везде суммирование ведется по всем
точкам i=1..n.
Тогда для определения a0
и a1 получается
система уравнений :
Выражения для параметров имеют вид
(приводим вывод)
Можно сначала найти значения сумм, а затем вывести формулы для нахождения неизвестных:
Mx=1+3+4=8;
Mxx=12+33+42=26;
My=3+6+4=13;
Mxy=1·3+3·6+4·4=37;
n=3
Уравнения
26 a1+8 a0 =37
8 a1+
3 a0 =13
Постановка задачи аппроксимации. Для набора точек: (-1,2),(2,3),(4,6) (5,5) вывести уравнения и найти коэффициенты линейной аппроксимации.
Первые 2 человека, приславших правильно решенные задания, получат дополнительный балл к экзамену.
Комментариев нет:
Отправить комментарий