Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) -часть 1

Этот пример демонстрирует способ решения задания №5 в письменной части экзамена.
Другие примеры можно найти по ссылке Пример решения письменной части экзамена.

Очевидно, что в методе Гаусса вычисления могут прекратиться досрочно, если a_kk=0 или очень малы. Во избежании этого и для уменьшения расчетной ошибки на каждом шаге прямого хода уравнения нужно переставлять так, чтобы на месте a_kk оказался элемент, наибольший по модулю в данном столбце ниже главной диагонали. a_kk в методе Гаусса называются главными (ведущими) элементами, а этот вариант метода называется метод Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента.

Еще лучше на каждом этапе искать наибольший элемент во всей матрице. Этот метод называется методом главных элементов.

 Расчет определителя матрицы размером nn требует n! действий, например, 3030 = 10³⁰ действий, что много даже для компьютера.

Свойства определителей:

1. Перестановка строк меняет знак det.
2. значение определителя не изменяется, если сложить к-тую строку, умноженную на , с j-й ;
3. Для треугольной матрицы:

Для вычисления значения определителя любой матрицы

эту матрицу прямым ходом по методу Гаусса приводят к треугольному виду и вычисляют произведение диагональных элементов.

Однако, перестановка строк при выборе a_kk ≠ 0, может изменить знак определителя.